用变量分离常微分方程方法求Boussinesq-double sine-Gordon

摘  要
Boussinesq-double sine-Gordon (B-sine-Gordon)方程，Boussinesq- double sinh-Gordon(B-sinh-Gordon)方程和 Boussinesq-Liouville(BL)方程的行波解被推导出来了。该方法主要在于对常微分方程用变量可分离的方法。它拥有独特的物理结构，能为每个方程得到两类不同的精确的孤立波解。
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1．引言
众所周知，线性Boussinesq方程是一个四阶偏微分方程
 ，                                          (1)
它包括物理色散元素。sine-Gordon方程是二阶非线性偏微分方程
 ，                                  　       (2)
这个方程首先出现在微分几何表面当高斯曲率K=-1时的研究过程中[1,9,2,7,16,3,8,15]。sine-Gordon方程是一个完全可积的，无穷维的Hamilton系统[1]，它可以由逆散射方法得到解决。可积意味着它有足够多的守恒量[1]。项sinu表示穿过两超导体之间绝缘体的Josephson电流。
双sine-Gordon 方程
 。                           　　　　  (3)

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出现在许多科学应用中。可是，sinh-Gordon方程
 ,                                            　　　　　   (4)
出现在积量子场论，扭结动力学和流体动力学中[1,9,2,7,16,3,8,15]。sinh- Gordon方程完全可积是因为它能变形为类似的三阶Painlev'e方程。此外，双sinh-Gordon方程
 ,                          　　　    (5)
也有大量的科学应用。
众所周知，寻找用不同的方法求非线性演变方程的精确解，是许多研究人员的目标。许多强有力的方法，例如 转变，逆散射方法，Hirota双线性形式，伪谱方法，tanh-sech方法[4–6,12,11]，sine-cosine方法[10]，许多其他技术也都被成功的用来研究这些类型的方程。实际上，没有一个统一的用于处理非线性问题所有类型的方法。(毕业设计)
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Mathematics and Computers in Simulation 72 (2006) 1–9
The variable separated ODE method for travelling wave solutions
for the Boussinesq-double sine-Gordon and the
Boussinesq-double sinh-Gordon equations
Abdul-Majid Wazwaz∗
Department of Mathematics and Computer Science, Saint Xavier University, Chicago, IL 60655, USA
Received 7 May 2005; accepted 8 March 2006
Available online 6 May 2006
Abstract
Travellingwave solutions for the Boussinesq-double sine-Gordon (B-sine-Gordon) equation, the Boussinesq-double sinh-Gordon
equation (B-sinh-Gordon), and the Boussinesq-Liouville (BL) equation are formally derived. The approach rests mainly on the
variable separated ODE method. Distinct sets of exact solitary wave solutions, that possess distinct physical structures, are obtained
for each equation.
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Keywords: A variable separated ODE method; Boussinesq equation; Sine-Gordon equation; Sinh-Gordon equation; Liouville equation
1. Introduction
It is well-known that the linear Boussinesq equation is a fourth order PDE given by
utt − αuxx + uxxxx = 0, (1)
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